অসমীকরণ : সংখ্যাদের সম্পর্কের গল্প

(বাংলা মাধ্যমের প্রাথমিক শিক্ষার্থীদের একটু অন্যভাবে বা অন্যরকম অঙ্কের স্বাদ দেওয়ার জন্য দশটি লেখার একটি সিরিজ তৈরি করা হয়েছে । যার নাম দশকথা । আজ দশকথার চতুর্থ কথা। এই লেখাতে আমরা অসমীকরণ ব্যাপারটি বলব । আপনাদের মন্তব্য-প্রতিমন্তব্য  চিন্তা গণিত কেন্দ্রের এই উদ্যোগকে এগিয়ে নিয়ে যেতে সাহায্য করবে ।)

এই সিরিজের প্রথম , দ্বিতীয় এবং তৃতীয় কথা

আজ আমরা সম্পর্কের কথা বলব । আরও স্পষ্ট করে বললে সংখ্যাদের মধ্যেকার সম্পর্কের কথা বলব । শুনে অবাক হচ্ছো !! সংখ্যাদের মধ্যেকার সম্পর্ক!! আসলে তোমরা ব্যাপারটা জানো ।

আচ্ছা, এখন খানিকটা গল্প করি এসো । তুমি আর তোমার বাবার মধ্যে হল পিতা-সন্তানের সম্পর্ক। তুমি আর তোমার সহপাঠীর সম্পর্ক হল বন্ধুত্বের । জড়বস্তুদের মধ্যেও সম্পর্ক তৈরি করা যায় । এত হাসছ কেন? জড়বস্তুদের মধ্যে সম্পর্ক হয় শুনে !! নিচের ছবির দুটি পেন্সিলের দৈর্ঘ্য এক নয়, অর্থাৎ একটি অন্যটির চেয়ে দৈর্ঘ্যে ছোটো । আবার দেখো থলি ভর্তি তুলো , থলি ভর্তি পাথরের চেয়ে অনেক হালকা । আমরা একটা ব্যাপার বেশ বুঝতে পারছি যে, দুই বা ততোধিক বস্তুর মধ্য কোনো একটি ধর্মের (যেমন ছোটো না বড়, ভারী না হালকা, ভ্রাতৃত্ব না পিতৃত্ব) সাহায্যে সম্পর্ক তৈরি করা যায় ।

এইবেলা সংখ্যাদের সম্পর্কের কথা বলা যাক । কিন্তু মুশকিলটা হল, সংখ্যাদেরকে না স্কেল দিয়ে মাপা যায়, না পাড়ার মুদিখানার দোকানে ওজন করা যায় । অথচ পরিমাপের কাজে সংখ্যারা অপরিহার্য ।তাহলে সংখ্যাদের নিজেদেরক্ষেত্রে তাদের সম্পর্ক কি ভাবে প্রকাশ করা যায়? একদম !! তুমি ঠিকই ভাবছ । দুটো ১ যোগ করলে ২ হয়,তাহলে মানের হিসাবে ১, ২ এর চেয়ে ছোটো বা উল্টোভাবে বললে ২, ১ এর চেয়ে বড় । ৩ আর ৩.৫ মধ্যে তুলনা করলে বলা যায় ৩.৫ এর চেয়ে ৩ ছোটো (৩.৫=৩+০.৫)।

তোমরা এতদিন যে ধরনের সংখ্যা নিয়ে কাজ করেছ সেইগুলি সবই ধনাত্মক সংখ্যা । আরও একধরনের সংখ্যা আছে , সেগুলিকে ঋণাত্মক সংখ্যা বলে । যেমন -১, -২, -৭.৫ ইত্যাদি । তবে বলে রাখি, শূন্য(০) ঋণাত্মক বা ধনাত্মকের মধ্যে কোনটিই নয় । শূন্য যেন বাড়ির সদর দরজার মত । যে বাড়ির ভেতরের সাথে বাইরের যোগাযোগ রেখে চলেছে । অথচ সে নিজে না বাড়ির অন্দর, না বাড়ির বাহির । এই নতুন ধরণের সংখ্যাদের বুঝতে একটু অসুবিধা হচ্ছে তো ? ধরো তুমি তোমাদের পাড়ার দোকানে দু'টাকা নিয়ে চকলেট কিনতে গেলে, কিন্তু গিয়ে দেখলে চকলেটের দাম তিনটাকা হয়ে গেছে । তো তুমি একটাকা ধার রেখে চকলেট নিয়ে চলে এলে । বাড়িতে মা জিজ্ঞেস করল, আর কতটাকা জমা আছে? তুমি তো অবাক! জমা থাকবে কি ? উলটে তো ১টাকা ধার হয়ে গেছে । তুমি এই ১টাকা ধার ব্যাপারটাকেই ঘুরিয়ে বলতে পার যে -১টাকা জমা আছে ।

এই ঋণাত্মক সংখ্যাদের যোগবিয়োগ তোমাদের জানা ধনাত্মক সংখ্যাদের মতই । শুধু গুণের সময় দুটো কথা খেয়াল রেখো । দুটি ঋণাত্মক সংখ্যার গুণফল ধনাত্মক হয় । যেমন (-৩) $ \times $ (-২)=৬ । আর, একটি ঋণাত্মক ও একটি ধনাত্মক সংখ্যার গুণফল সবসমই ঋণাত্মক হয় । (-৩) $ \times $ (২)=(-৬) ।

এই ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা , ঋণাত্মক পূর্ণসংখ্যা , ধনাত্মক দশমিক সংখ্যা , ঋণাত্মক দশমিক সংখ্যা এবং
শূন্য - এরা একটি সংখ্যা পরিবারের সদস্য । যেই সংখ্যা পরিবারের নাম বাস্তব সংখ্যা পরিবার । যার এক একটি সদস্য হল একেকটি বাস্তব সংখ্যা ।

এবার আমরা এই বড়-ছোট সম্পর্ককে চিহ্নের সাহায্যে লিখে ফেলব । যেমন সমান বোঝাতে '=' চিহ্নটির সাহায্যে লিখে থাকি।"২, ১ এর চেয়ে বড় "- এটাকে চিহ্নের সাহায্যে লিখলে ব্যাপারটা গিয়ে দাঁড়ায় এইরকম "২>১" আর ১, ২এর চেয়ে ছোটো "১<২" । আমরা তাহলে সংখ্যাদের সম্পর্কের ব্যাপারে বলতে পারি যে, দুটি সংখ্যার মধ্যে তিন ধরণের সম্পর্ক হতে পারে
(i)প্রথম সংখ্যা > দ্বিতীয় সংখ্যা ,
(ii)প্রথম সংখ্যা < দ্বিতীয় সংখ্যা ,
(iii)প্রথম সংখ্যা = দ্বিতীয় সংখ্যা
এইখানে খেয়াল রেখো , দুটি সংখ্যার মধ্যে উপরের যেকোনো একটি-শুধুমাত্র একটিই সম্পর্ক সত্য হবে ।

এই চিহ্নগুলো অনেকসময় গুলিয়ে যায়, একটা মজার জিনিস দিয়ে খুব সহজেই মনে রাখা যায় । নিচের ছবিতে তীরের ফলার দিকে দেখো, সেটি খানিকটা আমাদের চিহ্নগুলির (<, >) মতো দেখতে । তীরের ফলার সূঁচালো দিকটি থাকে লক্ষ্যবস্তুর দিকে, আর খোলামুখ থাকে তীরন্দাজের দিকে । সাধারণত লক্ষ্যবস্তু, তীরন্দাজের চেয়ে ছোট হয় ।এই ব্যাপারটাকে মাথায় রেখে সব সময় মনে রাখবে আমাদের চিহ্নগুলির সূঁচালো দিকে থাকা সংখ্যাটি, খোলা দিকে থাকা সংখ্যাটির চেয়ে ছোট হয় আবার উল্টো ভাবে বললে বলা যায় যে, খোলা দিকে থাকা সংখ্যাটি, সূঁচালো দিকে সংখ্যাটির চেয়ে বড় হয় ।

এবার কয়েকটি উদাহরণের সাহায্যে ব্যাপারখানা বুঝে নেওয়া যাক । পাঁচজোড়া সংখ্যা নিলাম । (২,৮), (৫.৫, ৫) , (-৩,-১), (০,-৯৯) (৭, ৭)- প্রথম সংখ্যার সাপেক্ষে দ্বিতীয় সংখ্যার সম্পর্ককে চিহ্নের সাহায্যে লিখেফেলি ২<৮, ৫.৫>৫, -৩<-১, ০>-৯৯ এবং ৭=৭ । এই ঋণাত্মক সংখ্যাদের ছোটবড়-র নিয়ম ধনাত্মক সংখ্যাদের উল্টো হয় । অর্থাৎ ১, ২-এর থেকে ছোট হয় কিন্তু -১, -২-এর থেকে বড় হয় ।

এবার আমরা দুটি অত্যন্ত প্রয়োজনীয় ধারণার কিসসা শুনব । চলো তাদের সাথে আলাপ সেরে নিই ।

তোমাকে যদি কেউ জিজ্ঞেস করে, এইতো সেদিন পলাশডাঙার মাঠে হওয়া মেলাতে কত লোক এসেছিলো ? তুমি বলবে অনেক লোক এসেছিলো। কিন্তু অনেক লোক বলতে ঠিক কতজনকে বোঝানো হচ্ছে ? আসলে ব্যাপারটা এমন নয় যে লোকের সংখ্যা আমরা গুনতে পারতাম না । সেটা ১৫০০ বা ৪৩৭৫ হোক না কেনো !! এই "অনেক লোক" ব্যাপারটাকে ইংরেজি বর্ণমালার অক্ষরগুলির সাহায্যেও বলা যায় । তখন আমরা বলব সেদিন মেলাতে x জন লোক এসেছিলো । এই x এর মান ১৫০০ বা ৪৩৭৫, যা খুশি হতে পারে । এবার মনে হতে পারে এত অক্ষর থাকতে শুধুমাত্র x কেন ? a,b,c,d,... কেনও নয়? এখানে বলি তুমি যে কোনোও অক্ষরই ব্যাবহার করতে পার ।

আর একটা হল হয় এটা নয় ওটা, কিন্তু দুটোই একসাথে নয়। ধরো তুমি আমায় বললে "রবিবার দুপুর ২টোয় বাড়িতে অথবা মামারবাড়িতে থাকব" । তোমার বলা কথা থেকে আমি বুঝতে পারলাম যে, তোমার সাথে রবিবার দুপুর ২টোয় দেখা করতে চাইলে হয় তোমার বাড়িতে যেতে হবে না হলে মামারবাড়িতে । কারণ একই সময়ে তুমি দুটো জায়গায় থাকতে পারবে না ।

এবার উপরের দুটি ধারণার সাহায্যে সংখ্যাদের সম্পর্কের গল্পটা আরও জমিয়ে বলা যাক ।দুটি সংখ্যা নাও, ধরো a এবং b ।
এবার আমি বললাম a,b এর চেয়ে ছোট অথবা সমান হবে । অর্থাৎ a<b অথবা a=b। এই পুরো জিনিসটাকে একটা নতুন চিহ্ন দিয়ে লিখব। সেটা হল \( a \leq b\) ।
a,b এর চেয়ে বড় অথবা সমান হবে । অর্থাৎ a>b অথবা a=b। আর সেটাকে চিহ্ন দিয়ে প্রকাশ করতে হয় \( a \geq b\) -এই ভাবে ।

এই রে!! এত গল্প করছি কিন্তু অসমীকরণ কাকে বলে সেটাই তো বলা হয়নি । সমান-এই শব্দ থেকে এসেছে সমীকরণ কথাটি । একটি উদাহরণের সাহায্যে জিনিসটা বলি । আমি বললাম আমার কাছে দু'টি চকলেট আছে। আরও কয়েকটি চকলেট কিনলে, আমার চকলেটের সংখ্যা তোমার চকলেটের সাথে সমান হবে। তোমার কাছে ছ'টি চকলেট থাকলে, আমাকে আর ক'টি চকলেট কিনতে হবে? তাহলে আগের মতো ধরে নিই আমাকে \(x\)টি চকলেট কিনতে হবে । এর সাথে আর ২টি চকলেট যোগ করলে যোগফল হবে ৬ । পুরো জিনিসটাকে আমরা এইভাবে লিখতে পারি x+২=৬ । এই শেষের বিস্তৃতিকেই সমীকরণ বলে । আর যেখানে সমান(=) চিহ্নের পরিবর্তে <,> , ≤ এবং ≥ ব্যাবহার করা হয়, সেই বিস্তৃতি কে অসমীকরণ বলে ।

এবার আমরা অসমীকরণের কয়েকটি বিশেষ ধর্ম জানব ।

(i) ধরা যাক \(x,y,z\) তিনটি বাস্তব সংখ্যা এবং \(x \leq y\) , তাহলে আমরা
বলতে পারি “\(x+z \leq y+z\)”- এই সম্পর্কটি সত্য |
(ii) ধরা যাক \(x,y ,z(z>0)\) তিনটি বাস্তব সংখ্যা এবং \( x \leq y\), তাহলে আমরা বলতে পারি “\( x \times z \leq y \times z\)”- এই সম্পর্কটি সত্য |
(iii)ধরা যাক \(x,y ,z(z<0)\) তিনটি বাস্তব সংখ্যা এবং যদি \( x \leq y\) , তাহলে আমরা বলতে পারি “ \( x \times z \geq y \times z\) ”- এই সম্পর্কটি সত্য |
(iv)ধরা যাক \(x,y,z\) তিনটি বাস্তব সংখ্যা এবং যদি \( x \leq y\) এবং \(y \leq z\) হয়,
তাহলে আমরা বলতে পারি “\(x \leq z\)” এই সম্পর্কটি সত্য |

একটি বিশেষ ধরনের অসমীকরণ

যদি x,y দুটি ধনাত্মক বাস্তব সংখ্যা হয় তাহলে, \( \frac{x+y}{2} \geq \sqrt{xy} \)

\(\sqrt{} \) চিহ্নটি হল বর্গমূলের । এটাকে অনেকটা ল্যাম্পপোস্টের মতো ভাবতে পার । তুমি যখন রাতেরবেলা ল্যাম্পপোস্টের নিচে হাঁটতে থাক, তখন তোমার সাথে তোমার ছায়াও থাকে । কিন্তু আসলে তো একটাই মানুষ । সেই রকমই বর্গমূলের চিহ্নের ভেতরে দুটো একই সংখ্যা থাকলে, বর্গমূলের চিহ্নটি তুলে দিয়ে একটি সংখ্যা লিখতে হয়। যেমন \(\sqrt{১৬} = \sqrt{৪ \times ৪}=৪ \) আবার \(\sqrt{২৫} = \sqrt{৫ \times ৫}=৫ \) । এখানে একটা কথা বলে রাখি, যেই সংখ্যার বর্গমূল বের করবে , সেটিকে মৌলিক উৎপাদকের গুণফল আকারে প্রকাশ করবে। দেখবে কাজটা অনেক সহজ হয়ে যাবে । ধরো ১০০ র বর্গমুল বের করতে হবে , তখন \(\sqrt{১০০} =\) \( \sqrt{২ \times ২ \times ৫ \times ৫}=২ \times ৫=১০ \) ।

চেনা সমস্যার অচেনা সমাধান

উধো আর বুধো ঠিক করল, তারা ৩৬ বর্গমিটার জায়গাবিশিষ্ট আয়তকার (দৈর্ঘ্য≠প্রস্থ) জমিতে বেড়া দিবে । তারা ঠিক করলো ১/৪ অংশে বেড়া দেবে না, তো উধো আর বুধো পরিসীমার ১/৪ অংশ মাপতে শুরু করল । উধোর হিসেবে দাঁড়াল ৬.৫ মিটার, আর বুধোর হিসেবে ৫.৬ মিটার । এই হিসেব শুনে শ্রী কাক্কেশ্বর কুচকুচ বলল নিশ্চয় উধোর পিন্ডি বুধোর ঘাড়ে চেপেছে, তোরা কেউ একটা ভুল করেছিস হিসেবে । এখন তোমরা বলো কে হিসাবে ভুল করেছে?

চিন্তাসুত্র ১

ধরে নাও জমিটির দৈর্ঘ্য \(x\) মিটার, \(y\) মিটার, তাহলে পরিসীমা \(2(x+y)\) মিটার এবং ক্ষেত্রফল \(xy\) বর্গমিটার ।

চিন্তাসুত্র ২

আমাদের বিশেষ অসমীকরণ এখানে খুব কাজের ।

চিন্তাসুত্র ৩

পরিসীমার ১/৪ অংশ মানেই তো \(\ \frac{x+y}{2}\)